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在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由 $A$ 地出发，途经 $B$ 地去往 $C$ 地，如图．当他由 $A$ 地出发时，发现他的北偏东 $45 °$ 方向有一信号发射塔 $P$ ．他由 $A$ 地沿正东方向骑行 $4 \sqrt{2} km$ 到达 $B$ 地，此时发现信号塔 $P$ 在他的北偏东 $15 °$ 方向，然后他由 $B$ 地沿北偏东 $75 °$ 方向骑行 $12 km$ 到达 $C$ 地．

（1）求 $A$ 地与信号发射塔 $P$ 之间的距离；

（2）求 $C$ 地与信号发射塔 $P$ 之间的距离．（计算结果保留根号）

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $AD$ 、 $BC$ 上，且 $∠ ABE = ∠ CDF$ ．

（1）探究四边形 $BEDF$ 的形状，并说明理由；

（2）连接 $AC$ ，分别交 $BE$ 、 $DF$ 于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．若 $\frac{AG}{OG} = \frac{2}{3}$ ， $AE = 4$ ，求 $BC$ 的长．

为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分 $x$ 均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格 $(60 ⩽ x < 70)$ 、合格 $(70 ⩽ x < 80)$ 、良好 $(80 ⩽ x < 90)$ 、优秀 $(90 ⩽ x ⩽ 100)$ ，制作了如下统计图（部分信息未给出） $:$

根据图中提供的信息解决下列问题：

（1）胡老师共抽取了　　名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为　　，请补全条形统计图．

（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．

先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 9}{x - 1} \div \frac{x^{2} + 3 x}{x - 1} + \frac{4}{x}$ ，其中 $x = 2$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 5 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 5, 0)$ ，点 $B (1, 0)$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，连接 $BD$ ．直线 $y = - \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ 经过点 $A$ ，且与 $y$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $N$ 是抛物线上的一点，当 $ΔBDN$ 是以 $DN$ 为腰的等腰三角形时，求点 $N$ 的坐标；

（3）点 $F$ 为线段 $AE$ 上的一点，点 $G$ 为线段 $OA$ 上的一点，连接 $FG$ ，并延长 $FG$ 与线段 $BD$ 交于点 $H$ （点 $H$ 在第一象限），当 $∠ EFG = 3 ∠ BAE$ 且 $HG = 2 FG$ 时，求出点 $F$ 的坐标．