在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC450，A-优题课

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠ABC = 45⁰，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.

（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；
（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，某日的钱塘江观潮信息如图：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 $s$ （千米）与时间 $t$ （分钟）的函数关系用图3表示，其中：“ $11 : 40$ 时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点 $A (0, 12)$ ，点 $B$ 坐标为 $(m, 0)$ ，曲线 $BC$ 可用二次函数 $s = \frac{1}{125} t^{2} + bt + c (b$ ， $c$ 是常数）刻画．

（1）求 $m$ 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2） $11 : 59$ 时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米 $/$ 分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米 $/$ 分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度 $v = v_{0} + \frac{2}{125} (t - 30)$ ， $v_{0}$ 是加速前的速度）．

如图， $AM$ 是 $ΔABC$ 的中线， $D$ 是线段 $AM$ 上一点（不与点 $A$ 重合）． $DE / / AB$ 交 $AC$ 于点 $F$ ， $CE / / AM$ ，连接 $AE$ ．

（1）如图1，当点 $D$ 与 $M$ 重合时，求证：四边形 $ABDE$ 是平行四边形；

（2）如图2，当点 $D$ 不与 $M$ 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $H$ ，若 $BH ⊥ AC$ ，且 $BH = AM$ ．

①求 $∠ CAM$ 的度数；

②当 $FH = \sqrt{3}$ ， $DM = 4$ 时，求 $DH$ 的长．

如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 $ABCD)$ 靠墙摆放，高 $AD = 80 cm$ ，宽 $AB = 48 cm$ ，小强身高 $166 cm$ ，下半身 $FG = 100 cm$ ，洗漱时下半身与地面成 $80 ° (∠ FGK = 80 °)$ ，身体前倾成 $125 ° (∠ EFG = 125 °)$ ，脚与洗漱台距离 $GC = 15 cm$ （点 $D$ ， $C$ ， $G$ ， $K$ 在同一直线上）．

（1）此时小强头部 $E$ 点与地面 $DK$ 相距多少？

（2）小强希望他的头部 $E$ 恰好在洗漱盆 $AB$ 的中点 $O$ 的正上方，他应向前或后退多少？

$(\sin 80 ° \approx 0.98$ ， $\cos 80 ° \approx 0.17$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，结果精确到 $0.1)$

小明为了了解气温对用电量的影响，对去年自己家的每月用电量和当地气温进行了统计．当地去年每月的平均气温如图1，小明家去年月用电量如图2．

根据统计图，回答下面的问题：

（1）当地去年月平均气温的最高值、最低值各为多少？相应月份的用电量各是多少？

（2）请简单描述月用电量与气温之间的关系；

（3）假设去年小明家用电量是所在社区家庭年用电量的中位数，据此他能否预测今年该社区的年用电量？请简要说明理由．

如图，一次函数 $y = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A (- 1, 2)$ ， $B (m, - 1)$ ．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$ 轴上是否存在点 $P (n$ ， $0) (n > 0)$ ，使 $ΔABP$ 为等腰三角形？若存在，求 $n$ 的值；若不存在，说明理由．