已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求-优题课

先化简，再求值： $（ 1 + x ）（ 1 ﹣ x ） + x （ x + 2 ）$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

计算： $\sqrt{9} - （ ﹣ 2022 ）^{0} + 2^{﹣ 1}$ ．

如图1，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ A B C ＝ 90 ° ， ∠ C ＝ 30 ° ， A D ＝ 3 ， A B ＝ 2 \sqrt{3}$ ， $D H ⊥ B C$ 于点 $H$ ．将 $△ P Q M$ 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点 $P$ 与 $A$ 重合，点 $B$ 在 $P M$ 上，其中 $∠ Q ＝ 90 ° ， ∠ Q P M ＝ 30 ° ， P M ＝ 4 \sqrt{3}$ ．

（1）求证： $△ P Q M ≌ △ C H D$ ；

（2） $△ P Q M$ 从图1的位置出发，先沿着 $B C$ 方向向右平移（图2），当点 $P$ 到达点 $D$ 后立刻绕点 $D$ 逆时针旋转（图3），当边 $P M$ 旋转 $50 °$ 时停止．

①边 $P Q$ 从平移开始，到绕点 $D$ 旋转结束，求边 $P Q$ 扫过的面积；

②如图2，点 $K$ 在 $B H$ 上，且 $B K ＝ 9 ﹣ 4 \sqrt{3}$ ．若 $△ P Q M$ 右移的速度为每秒 $1$ 个单位长，绕点 $D$ 旋转的速度为每秒 $5 °$ ，求点 $K$ 在 $△ P Q M$ 区域（含边界）内的时长；

③如图3，在 $△ P Q M$ 旋转过程中，设 $P Q ， P M$ 分别交 $B C$ 于点 $E ， F$ ，若 $B E ＝ d$ ，直接写出 $C F$ 的长（用含 $d$ 的式子表示）．

如图，平面直角坐标系中，线段 $A B$ 的端点为 $A （ ﹣ 8 ， 19 ）， B （ 6 ， 5 ）$ ．

（1）求 $A B$ 所在直线的解析式；

（2）某同学设计了一个动画：

在函数 $y ＝ m x + n （ m \neq 0 ， y \geq 0 ）$ 中，分别输入 $m$ 和 $n$ 的值，使得到射线 $C D$ ，其中 $C （ c ， 0 ）$ ．当 $c ＝ 2$ 时，会从C处弹出一个光点 $P$ ，并沿 $C D$ 飞行；当 $c \neq 2$ 时，只发出射线而无光点弹出．

①若有光点 $P$ 弹出，试推算 $m ， n$ 应满足的数量关系；

②当有光点 $P$ 弹出，并击中线段 $A B$ 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 $A B$ 就会发光．求此时整数 $m$ 的个数．

如图，某水渠的横断面是以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ，其中水面截线 $M N ∥ A B$ ．嘉琪在 $A$ 处测得垂直站立于 $B$ 处的爸爸头顶 $C$ 的仰角为 $14 °$ ，点 $M$ 的俯角为 $7 °$ ．已知爸爸的身高为 $1.7 m$ ．

（1）求 $∠ C$ 的大小及 $A B$ 的长；

（2）请在图中画出线段 $D H$ ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．

（参考数据： $\tan 76 °$ 取 $4$ ， $\sqrt{17}$ 取 $4.1$ ）