如图，在△ABC中，ABAC10，CB16，分别以AB、AC-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AD ⊥ CD$ ， $∠ B = 45 °$ ，延长 $CD$ 到点 $E$ ，使 $DE = DA$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $AE = BC$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $CD = 1$ ，求四边形 $ABCE$ 的面积．

某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： $A$ ．机器人， $B$ ．围棋， $C$ ．羽毛球， $D$ ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 $A$ 所占扇形的圆心角为 $36 °$ ．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　　人；

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 是 $ΔABC$ 内一点，连接 $AD$ ， $BD$ ，在 $BD$ 左侧作 $Rt Δ BDE$ ，使 $∠ BDE = 90 °$ ，以 $AD$ 和 $DE$ 为邻边作 $▱ ADEF$ ，连接 $CD$ ， $DF$ ．

（1）若 $AC = BC$ ， $BD = DE$ ．

①如图1，当 $B$ ， $D$ ， $F$ 三点共线时， $CD$ 与 $DF$ 之间的数量关系为　　．

②如图2，当 $B$ ， $D$ ， $F$ 三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）若 $BC = 2 AC$ ， $BD = 2 DE$ ， $\frac{CD}{AC} = \frac{4}{5}$ ，且 $E$ ， $C$ ， $F$ 三点共线，求 $\frac{AF}{CE}$ 的值．

某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为 $W$ （元 $)$ ，求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 是 $AC$ 上一点，过 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $ED$ ， $EC$ ，点 $F$ 是线段 $AE$ 上的一点，连接 $FD$ ，其中 $∠ FDE = ∠ DCE$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $D$ 是 $AC$ 的中点， $∠ A = 30 °$ ， $BC = 4$ ，求 $DF$ 的长．