计算：-优题课

已知：如图，一次函数 $y = - 2 x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有两个交点 $A (- 1, m)$ 和 $B$ ，过点 $A$ 作 $AE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ；过点 $B$ 作 $BD ⊥ y$ 轴，垂足为点 $D$ ，且点 $D$ 的坐标为 $(0, - 2)$ ，连接 $DE$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）求四边形 $AEDB$ 的面积．

黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} = 0$ ①有两个不相等的实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $k = 1$ 时，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x - 5 < - 2 x① \\ \frac{3 x + 2}{2} ⩾ 1 ② \end{matrix}$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 过点 $(- 2, 2)$ ， $(4, 5)$ ，过定点 $F (0, 2)$ 的直线 $l : y = kx + 2$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $B$ 在点 $A$ 的右侧，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$ 在抛物线上运动时，判断线段 $BF$ 与 $BC$ 的数量关系 $(>$ 、 $<$ 、 $=)$ ，并证明你的判断；

（3） $P$ 为 $y$ 轴上一点，以 $B$ 、 $C$ 、 $F$ 、 $P$ 为顶点的四边形是菱形，设点 $P (0, m)$ ，求自然数 $m$ 的值；

（4）若 $k = 1$ ，在直线 $l$ 下方的抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $ΔQBF$ 的面积最大？若存在，求出点 $Q$ 的坐标及 $ΔQBF$ 的最大面积；若不存在，请说明理由．