（本小题满分12分）为了响应学校学科文化节活动，数学组举办了-优题课

题文

（本小题满分12分）为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识竞赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有个女生和个男生，乙组得满分的有个女生和个男生．现从得满分的学生中，每组各任选个学生，作为数学组的活动代言人．
（1）求选出的个学生中恰有个女生的概率；
（2）设为选出的个学生中女生的人数，求的分布列和数学期望．

科目数学题型解答题难度较易

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已知函数 $f (x)$ 的图像是由函数 $g (x) = \cos x$ 的图像经如下变换得到:先将 $g (x)$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移 $\frac{p}{2}$ 个单位长度.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式,并求其图像的对称轴方程；
（Ⅱ）已知关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = m$ 在 $[0, 2 p)$ 内有两个不同的解 $a, b$ ．
（1）求实数 $m$ 的取值范围；
（2）证明： $\cos (a - b) \frac{2 m^{2}}{5} - 1$

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > o)$ 过点 $(0, \sqrt{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $x = m y - 1, (m ? R)$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，判断点 $G (- \frac{9}{4}, 0)$ 与以线段 $A B$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

如图，在几何体 $A B C D E$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B ⊥$ 平面 $B E C$ ， $B E ⊥ E C$ ， $A B = B E = E C = 2$ ， $G, F$ 分别是线段 $B E, D C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $G F / /$ 平面 $A D E$ ；
（Ⅱ）求平面 $A E F$ 与平面 $B E C$ 所成锐二面角的余弦值．

某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

已知椭圆 $C :$ $x^{2} + 3 y^{2} = 3$ ，过点 $D (1, 0)$ 且不过点 $E (2, 1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ $B$

$B$ $B$ 两点，直线 $A E$ 与直线 $x = 3$ 交于点 $M$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的离心率；
（Ⅱ）若 $A B$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $B M$ 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 $B M$ 与直线 $D E$ 的位置关系，并说明理由．

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