已知2x3m1y2n与7xn6y3m的积与x4y是同类项，求-优题课

如图，已知 $∠ A O C ＝ ∠ B O C$ ，点 $P$ 在 $O C$ 上， $P D ⊥ O A ， P E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D ， E$ ．求证： $△ O P D ≌ △ O P E$ ．

先化简，再求值： $a + \frac{a^{2} - 1}{a - 1}$ ，其中 $a ＝ 5$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 2 ＞ 1 \\ x + 1 ＜ 3 \end{matrix}$ ．

（1）发现：如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为AD边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$ ；

（2）探究：如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D ＝ 8 ， A B ＝ 6$ ．将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于 $G$ 点，延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H$ ，且 $F H ＝ C H$ ，求 $A E$ 的长．

（3）拓展：如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 6$ ， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D ＝ 60 °$ ．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，求 $P C$ 的长．

一个玻璃球体近似半圆 $O ， A B$ 为直径．半圆 $O$ 上点 $C$ 处有个吊灯 $E F$ ， $E F ∥ A B ， C O ⊥ A B$ ， $E F$ 的中点为 $D$ ， $O A ＝ 4$ ．

（1）如图①， $C M$ 为一条拉线， $M$ 在 $O B$ 上， $O M ＝ 1.6$ ， $D F ＝ 0.8$ ，求 $C D$ 的长度．

（2）如图②，一个玻璃镜与圆 $O$ 相切， $H$ 为切点， $M$ 为 $O B$ 上一点， $M H$ 为入射光线， $N H$ 为反射光线， $∠ O H M ＝ ∠ O H N ＝ 45 °$ ， $\tan ∠ C O H = \frac{3}{4}$ ，求 $O N$ 的长度．

（3）如图③， $M$ 是线段 $O B$ 上的动点， $M H$ 为入射光线， $∠ H O M ＝ 50 °$ ，HN为反射光线交圆 $O$ 于点N，在 $M$ 从 $O$ 运动到 $B$ 的过程中，求 $N$ 点的运动路径长．