如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30º方向的两条街道-优题课

题文

如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30º方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。

（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；
（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置。

科目数学题型解答题难度较易

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已知函数 $f (x) = x^{2} + x \sin x + \cos x$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ 处与直线 $y = b$ 相切，求 $a$ 与 $b$ 的值.
（Ⅱ）若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = b$ 有两个不同的交点，求 $b$ 的取值范围.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D, A B ⊥ A D, C D = 2 A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A D$ . $E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，求证：

（Ⅰ） $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ；
（Ⅱ） $B E / /$ 平面 $P A D$ ；
（Ⅲ）平面 $B E F / /$ 平面 $P C D$

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

已知函数 $f (x) = (2 \cos^{2} x - 1) \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 4 x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若 $a \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $f (a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

已知函数 $f (x) = x - 1 + \frac{a}{e^{x}}$ （ $a \in R, e$ 为自然对数的底数）
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴,求 $a$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极值；
（Ⅲ）当 $a = 1$ 时,若直线 $l : y = k x - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 没有公共点,求 $k$ 的最大值.

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