在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装-优题课

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $BC = 2$ ，使用作图工具作 $∠ BAC = 30 °$ ，尝试操作后思考：

（1）这样的点 $A$ 唯一吗？

（2）点 $A$ 的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$ 的位置不唯一，它在以 $BC$ 为弦的圆弧上（点 $B$ 、 $C$ 除外）， $\dots$ ．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$ ．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为　　；

② $ΔABC$ 面积的最大值为　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A'$ ，请你根据图1证明 $∠ BA' C > 30 °$ ．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $ABCD$ 的边长 $AB = 2$ ， $BC = 3$ ，点 $P$ 在直线 $CD$ 的左侧，且 $\tan ∠ DPC = \frac{4}{3}$ ．

①线段 $PB$ 长的最小值为　　；

②若 $S_{ΔPCD} = \frac{2}{3} S_{ΔPAD}$ ，则线段 $PD$ 长为　　．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{ΔABD} = 2 S_{ΔABC}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{ΔAPC} = S_{ΔAPB}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ BAD = 90 °$ ， $CB = CD$ ，连接 $BD$ ，以点 $B$ 为圆心， $BA$ 长为半径作 $⊙ B$ ，交 $BD$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $CD$ 与 $⊙ B$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ BCD = 60 °$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $D$ ， $DE / / AB$ ， $DF / / AC$ ．

（1）试判断四边形 $AFDE$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $∠ BAC = 90 °$ ，且 $AD = 2 \sqrt{2}$ ，求四边形 $AFDE$ 的面积．

为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了 $20 %$ ，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？