（本小题满分14分）椭圆，椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点-优题课

题文

（本小题满分14分）椭圆，椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点到中心的最短距离为，且椭圆上的点到左焦点的最长距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线交于A，B两点．若AB的中点坐标的纵坐标为，求的面积．

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$f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \sin^{2} x$ .

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的三个内角，若 $\cos B = \frac{1}{3}, f (\frac{c}{2}) = - \frac{1}{4}$ ，且 $C$ 为锐角，求 $\sin A$ .

（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，
求实数的取值范围.

（1）求数列的通项；
（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设数列，的前项和为，求证：

（1）求椭圆的离心率；
（2）若左焦点设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与x轴交于，求点横坐标的取值范围.

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