如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AEBE，点-优题课

如图，点 $E$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，点 $C$ 是 $\hat{BE}$ 的中点，过点 $C$ 作 $CD$ 垂直于 $AE$ ，交 $AE$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\cos ∠ CAD = \frac{4}{5}$ ， $BF = 15$ ，求 $AC$ 的长．

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东 $75 °$ 方向航行，在点 $A$ 处测得码头 $C$ 在船的东北方向，航行40分钟后到达 $B$ 处，这时码头 $C$ 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $C$ 的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共　　人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图 1 中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是 160 人，全校共 2000 人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人．

如图，有四张背面完全相同的纸牌 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A (3, 0)$ ， $D (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，且 $OB = OD$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接 $BE$ ， $AB$ ，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$ ，使 $∠ QBA = ∠ BEM$ ，求出点 $Q$ 的坐标；

（3）如图2，过点 $C$ 作 $CF / / x$ 轴，交抛物线于点 $F$ ，连接 $BF$ ，点 $G$ 是 $x$ 轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$ ，使以点 $B$ ， $F$ ， $G$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．