(本小题满分13分)已知函数(其中
,
是自然对数的底数,
).
(Ⅰ)当时,求函数
的极值;
(Ⅱ)若恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)求证:对任意正整数,都有
.
(本小题满分12分)过椭圆的右焦点
作斜率
的直线交椭圆于
两点,且
与
共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上任意一点,且
,证明:
为定值。
(本小题满分12分)如图,正方形所在平面与等腰三角形
所在平面相交于
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)设是线段
上一点,当直线
与平面
所成角的正弦值为
时,试确定点
的位置.
(本小题满分12分)为了促进学生的全面发展,贵州某中学重视学生社团文化建设,2014年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”。已知该同学通过考核选拨进入两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为
,并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率。
(1)求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率和进入“话剧社”的概率
;
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“海济社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“话剧社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修加分分数的分布列和数学期望。
(本小题满分14分)已知函数,
,其中
,(e≈2.718).
(1)若函数有极值1,求
的值;
(2)若函数在区间
上为减函数,求
的取值范围;
(3)证明:.
(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知点
,点
在直线
上,点
满足
,
,点
的轨迹为曲线
.
(1)求的方程;
(2)设直线与曲线
有唯一公共点
,且与直线
相交于点
,试探究,在坐标
平面内是否存在点,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.