（﹣28）÷（7）﹣（﹣3）×（﹣2）．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ 、点 $B (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求拋物线的解析式；

（2）过点 $D (0, 3)$ 作直线 $MN / / x$ 轴，点 $P$ 在直线 $MN$ 上且 $S_{ΔPAC} = S_{ΔDBC}$ ，直接写出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上， $AB$ 、 $BC$ 的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根 $(BC > AB)$ ， $OA = 2 OB$ ，边 $CD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$ 出发沿折线段 $AD - DE$ 向点 $E$ 运动，运动的时间为 $t (0 ⩽ t ⩽ 6)$ 秒，设 $ΔBPE$ 的面积为 $S$ ．

（1）求点 $D$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$ 运动的过程中，是否存在点 $P$ ，使 $ΔBEP$ 是以 $BE$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某广场舞团队准备购买甲、乙两种道具参加演出，已知购买2件甲种道具、1件乙种道具共需35元；购买1件甲种道具、3种乙种道具共需花费30元．

（1）求购买一件甲种道具，一件乙种道具各需多少元？

（2）若该团体计划购买这两种道具共120件，投入资金不少于956元又不多于1000元，设购买甲种道具 $x$ 件，求有多少种购买方案？

（3）设投入资金为 $W$ 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要投入的资金最少？最少资金是多少元？

如图， $BD$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线，线段 $BC$ 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $PQ$ ，连接 $PA$ ，过点 $Q$ 作 $QO ⊥ BD$ ，垂足为 $O$ ，连接 $OA$ 、 $OP$ ．

（1）如图①所示，求证： $AP = \sqrt{2} OA$ ；

（2）如图②所示， $PQ$ 在 $BC$ 的延长线上，如图③所示， $PQ$ 在 $BC$ 的反向延长线上，猜想线段 $AP$ 、 $OA$ 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

小明匀速跑步从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速跑步，小强骑自行车比小明晚出发一段时间，以400米 $/$ 分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程 $y$ （米 $)$ 与小明出发后所用时间 $t$ （分钟）之间的函数图象如图所示，

（1）求小明跑步的速度；

（2）求小明停留结束后 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求小明与小强相遇时 $x$ 的值．