小明和小刚测量同一根木棒，小明测得长是0.80m，小刚测得长-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $BC$ 边上一点，以 $DB$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $AB$ 的中点 $E$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证： $∠ 1 = ∠ F$ ．

（2）若 $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $EF = 2 \sqrt{5}$ ，求 $CD$ 的长．

如图，在方格纸中，点 $A$ ， $B$ ， $P$ 都在格点上．请按要求画出以 $AB$ 为边的格点四边形，使 $P$ 在四边形内部（不包括边界上），且 $P$ 到四边形的两个顶点的距离相等．

（1）在图甲中画出一个 $▱ ABCD$ ．

（2）在图乙中画出一个四边形 $ABCD$ ，使 $∠ D = 90 °$ ，且 $∠ A \neq 90 °$ ．（注：图甲、乙在答题纸上）

如图， $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $CD$ 的中点，延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔADE ≅ ΔFCE$ ．

（2）若 $∠ BAF = 90 °$ ， $BC = 5$ ， $EF = 3$ ，求 $CD$ 的长．

为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题：

（1）求“非常了解”的人数的百分比．

（2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人？

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ $\sqrt{()}$ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘常数 $k$ ，再加上常数 $b$ ”的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图 $a)$ ．

也可用图象描述：如图1，在 $x$ 轴上表示出 $x_{1}$ ，先在直线 $y = kx + b$ 上确定点 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，再在直线 $y = x$ 上确定纵坐标为 $y_{1}$ 的点 $(x_{2}$ ， $y_{1})$ ，然后在 $x$ 轴上确定对应的数 $x_{2}$ ， $\dots$ ，以此类推．

【解决问题】研究输入实数 $x_{1}$ 时，随着运算次数 $n$ 的不断增加，运算结果 $x_{n}$ ，怎样变化．

（1）若 $k = 2$ ， $b = - 4$ ，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若 $k > 1$ ，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若 $k = - \frac{2}{3}$ ， $b = 2$ ，已在 $x$ 轴上表示出 $x_{1}$ （如图2所示），请在 $x$ 轴上表示 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，并写出研究结论；

②若输入实数 $x_{1}$ 时，运算结果 $x_{n}$ 互不相等，且越来越接近常数 $m$ ，直接写出 $k$ 的取值范围及 $m$ 的值（用含 $k$ ， $b$ 的代数式表示）