．-优题课

某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．

请根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）表中的 $a =$ 　　，将频数分布直方图补全；

（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？

（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

先化简，再求值： $(\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{3 - x}) \div \frac{2}{x - 3}$ ，其中， $x = \sqrt{3} - 3$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} x - 3 (x - 1) ⩾ 5 \\ \frac{x - 3}{5} - 1 < \frac{x + 1}{2} \end{matrix}$

在边长为2的等边三角形 $ABC$ 中， $P$ 是 $BC$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ AB$ ， $PN ⊥ AC$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $BC$ 边的何处时都有 $PM + PN$ 的长恰好等于三角形 $ABC$ 一边上的高；

（2）当 $BP$ 的长为何值时，四边形 $AMPN$ 的面积最大，并求出最大值．

为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：

用户每月用水量 $(m^{3})$	32及其以下	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43及其以上
户数（户）	200	160	180	220	240	210	190	100	170	120	100	110

（1）为确保 $70 %$ 的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？

（2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设 $x$ 表示每户每月用水量（单位： $m^{3}$ ）， $y$ 表示每户每月应交水费（单位：元），求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（3）某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？