如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC-优题课

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题文

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

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某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．

（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？

（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 $30 %$ ．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是边 $BC$ 上的点， $DE ⊥ AC$ ， $DF ⊥ AB$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，且 $DE = DF$ ， $CE = BF$ ．求证： $∠ B = ∠ C$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1．对于点 $A$ 和线段 $BC$ ，给出如下定义：若将线段 $BC$ 绕点 $A$ 旋转可以得到 $⊙ O$ 的弦 $B' C' (B'$ ， $C'$ 分别是 $B$ ， $C$ 的对应点），则称线段 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 $A$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ 的横、纵坐标都是整数．在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B_{2} C_{2}$ ， $B_{3} C_{3}$ 中， $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”是　 $B_{2} C_{2}$ 　；

（2） $ΔABC$ 是边长为1的等边三角形，点 $A (0, t)$ ，其中 $t \neq 0$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，求 $t$ 的值；

（3）在 $ΔABC$ 中， $AB = 1$ ， $AC = 2$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，直接写出 $OA$ 的最小值和最大值，以及相应的 $BC$ 长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = α$ ， $M$ 为 $BC$ 的中点，点 $D$ 在 $MC$ 上，以点 $A$ 为中心，将线段 $AD$ 顺时针旋转 $α$ 得到线段 $AE$ ，连接 $BE$ ， $DE$ ．

（1）比较 $∠ BAE$ 与 $∠ CAD$ 的大小；用等式表示线段 $BE$ ， $BM$ ， $MD$ 之间的数量关系，并证明；

（2）过点 $M$ 作 $AB$ 的垂线，交 $DE$ 于点 $N$ ，用等式表示线段 $NE$ 与 $ND$ 的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $(1, m)$ 和点 $(3, n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 上．

（1）若 $m = 3$ ， $n = 15$ ，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $(- 1, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ ， $(4, y_{3})$ 在该抛物线上．若 $mn < 0$ ，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小，并说明理由．

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