（本题4分）把下列各数12，，，（2），在数轴上表示出来，并-优题课

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在 $ΔABC$ 中， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，正方形 $PQMN$ 的边 $QM$ 在 $BC$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $AB$ ， $AC$ 上，若 $BC = a$ ， $AD = h$ ，求正方形 $PQMN$ 的边长（用 $a$ ， $h$ 表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形 $PQMN$ 呢？

如图2，小波画出了图1的 $ΔABC$ ，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在 $AB$ 上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使点 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $BC$ 边上，点 $N^{'}$ 在 $ΔABC$ 内，然后连结 $B N^{'}$ ，并延长交 $AC$ 于点 $N$ ，画 $NM ⊥ BC$ 于点 $M$ ， $NP ⊥ NM$ 交 $AB$ 于点 $P$ ， $PQ ⊥ BC$ 于点 $Q$ ，得到四边形 $PQMN$ ．

（3）推理：证明图2中的四边形 $PQMN$ 是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段 $BN$ 称为“波利亚线”，在该线上截取 $NE = NM$ ，连结 $EQ$ ， $EM$ （如图 $3)$ ，当 $∠ QEM = 90 °$ 时，求“波利亚线” $BN$ 的长（用 $a$ ， $h$ 表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

某农作物的生长率 $p$ 与温度 $t (^{°} C)$ 有如下关系：如图，当 $10 ⩽ t ⩽ 25$ 时可近似用函数 $p = \frac{1}{50} t - \frac{1}{5}$ 刻画；当 $25 ⩽ t ⩽ 37$ 时可近似用函数 $p = - \frac{1}{160} {(t - h)}^{2} + 0.4$ 刻画．

（1）求 $h$ 的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数 $m$ （天 $)$ 与生长率 $p$ 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

生长率 $p$	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天数 $m$ （天 $)$	0	5	10	15

求：① $m$ 关于 $p$ 的函数表达式；

②用含 $t$ 的代数式表示 $m$ ．

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温 $20^{°} C$ 时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到 $20 ⩽ t ⩽ 25$ 时的成本为200元 $/$ 天，但若欲加温到 $25 < t ⩽ 37$ ，由于要采用特殊方法，成本增加到400元 $/$ 天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注 $:$ 农作物上市售出后大棚暂停使用）

某挖掘机的底座高 $AB = 0.8$ 米，动臂 $BC = 1.2$ 米， $CD = 1.5$ 米， $BC$ 与 $CD$ 的固定夹角 $∠ BCD = 140 °$ ．初始位置如图1，斗杆顶点 $D$ 与铲斗顶点 $E$ 所在直线 $DE$ 垂直地面 $AM$ 于点 $E$ ，测得 $∠ CDE = 70 °$ （示意图 $2)$ ．工作时如图3，动臂 $BC$ 会绕点 $B$ 转动，当点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一直线时，斗杆顶点 $D$ 升至最高点（示意图 $4)$ ．

（1）求挖掘机在初始位置时动臂 $BC$ 与 $AB$ 的夹角 $∠ ABC$ 的度数．

（2）问斗杆顶点 $D$ 的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中 $A$ 、 $B$ 两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：

[信息一] $A$ 小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；

[信息二]图中，从左往右第四组的成绩如下

75	75	79	79	79	79	80	80
81	82	82	83	83	84	84	84

[信息三] $A$ 、 $B$ 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率 $(80$ 分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺） $:$

小区	平均数	中位数	众数	优秀率	方差
$A$	75.1		79	$40 %$	277
$B$	75.1	77	76	$45 %$	211

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求 $A$ 小区50名居民成绩的中位数．

（2）请估计 $A$ 小区500名居民中能超过平均数的有多少人？

（3）请尽量从多个角度比较、分析 $A$ ， $B$ 两小区居民掌握垃圾分类知识的情况．

在 $6 \times 6$ 的方格纸中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$ ，使以点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $AB$ 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．