计算（1）120（24）（2）（26.54）（6.4）18.-优题课

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OADB$ 的顶点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $A (- 6, 0)$ ， $B (0, 4)$ ．过点 $C (- 6, 1)$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与矩形 $OADB$ 的边 $BD$ 交于点 $E$ ．

（1）填空： $OA =$ 　　， $k =$ 　　，点 $E$ 的坐标为　　；

（2）当 $1 ⩽ t ⩽ 6$ 时，经过点 $M (t - 1, - \frac{1}{2} t^{2} + 5 t - \frac{3}{2})$ 与点 $N (- t - 3, - \frac{1}{2} t^{2} + 3 t - \frac{7}{2})$ 的直线交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $P$ 是过 $M$ ， $N$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的顶点．

①当点 $P$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上时，求证：直线 $MN$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 没有公共点；

②当抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与矩形 $OADB$ 有且只有三个公共点，求 $t$ 的值；

③当点 $F$ 和点 $P$ 随着 $t$ 的变化同时向上运动时，求 $t$ 的取值范围，并求在运动过程中直线 $MN$ 在四边形 $OAEB$ 中扫过的面积．

某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 $Q$ ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 $Q$ 值都以平均值 $n$ 计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使 $Q$ 值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．

（1）求 $n$ 的值；

（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 $m$ ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求 $m$ 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；

（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 $Q$ 值比上一年都增加一个相同的数值 $a$ ．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 $Q$ 值与当年用甲方案治理降低的 $Q$ 值相等，第三年，用甲方案使 $Q$ 值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的 $Q$ 值及 $a$ 的值．

某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：

社团名称	$A$ ．酵素制作社团	$B$ ．回收材料小制作社团	$C$ ．垃圾分类社团	$D$ ．环保义工社团	$E$ ．绿植养护社团
人数	10	15	5	10	5

（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是　　；

（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；

（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；

（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 40 °$ ， $ΔABC$ 的外角 $∠ CBD$ 的平分线 $BE$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求 $∠ CBE$ 的度数；

（2）过点 $D$ 作 $DF / / BE$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $F$ ，求 $∠ F$ 的度数．

解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{10 - x}{3} ⩽ 2 x + 1 \\ x - 2 < 0 \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．