（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQ-优题课

（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量等级	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
AQI值范围	[0,50）	[50，100）	[100,150）	[150,200）	[200,300）	300及以上

下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：

西部城市	AQI数值	东部城市	AQI数值
西安	108	北京	104
西宁	92	金门	42
克拉玛依	37	上海	x
鄂尔多斯	56	苏州	114
巴彦淖尔	61	天津	105
库尔勒	456	石家庄	93
AQI平均值：135	AQI平均值：90

（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：随机思想的发展

设 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， $\{b_{n}\}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .

（I）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（II）设数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，

（i）求 $T_{n}$ ；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

如图， $AD / / BC$ 且AD=2BC， $AD ⊥ CD$ , $EG / / AD$ 且EG=AD， $CD / / FG$ 且CD=2FG， $DG ⊥ 平面 ABCD$ ，DA=DC=DG=2.

（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： $MN ∥ 平面 CDE$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E - BC - F$ 的正弦值；

（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

在 $△ ABC$ 中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ .

（1）求角 B的大小；

（2）设 a=2， c=3，求 b和 $\sin (2 A - B)$ 的值.

已知 $f (x) = |x + 1| - |ax - 1|$ .

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

（2）若 $x \in (0, 1)$ 时不等式 $f (x) > x$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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