为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从-优题课

已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + \frac{1}{4}, g (x) = - \ln x$ .
（Ⅰ）当 $a$ 为何值时， $x$ 轴为曲线 $y = f (x)$ 的切线；
（Ⅱ）用 $m i n$ $\{m, n\}$ 表示 $m, n$ 中的最小值，设函数 $h (x) = m i n \{f (x), g (x)\} (x > 0)$ ，讨论 $h (x)$ ）零点的个数.

在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C ： y = \frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $y = k x + a (a > 0)$ 交与 $M, N$ 两点，
（Ⅰ）当 $k = 0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程；
（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $∠ O P M = ∠ O P N$ ？说明理由.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：千元）对年销售量 $y$ （单位： $t$ ）和年利润 $z$ （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}$ （ $i$ =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.


46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C$ =120°， $E, F$ 是平面 $A B C D$ 同一侧的两点， $B E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $D E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $B E = 2 D E$ ， $A E ⊥ E C$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A E C$ ⊥平面 $A F C$ ；
（Ⅱ）求直线 $A E$ 与直线 $C F$ 所成角的余弦值.

$S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n} > 0$ ， ${a_{n}}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n - 1}}$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.