解一元二次方程.-优题课

在矩形 $ABCD$ 中， $BC = \sqrt{3} CD$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 上的动点，且 $AE = CF$ ，连接 $EF$ ，将矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

（1）如图1，当 $EH$ 与线段 $BC$ 交于点 $P$ 时，求证： $PE = PF$ ；

（2）如图2，当点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上时， $GH$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上；

（3）当 $AB = 5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $AD$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\hat{BC}$ 上一点， $F$ 为弦 $DC$ 延长线上一点，连接 $FE$ 并延长交直径 $AB$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $AE$ 交 $CD$ 于点 $P$ ，若 $FE = FP$ ．

（1）求证： $FE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为8， $\sin F = \frac{3}{5}$ ，求 $BG$ 的长．

2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）合格等级所占百分比为　　 $%$ ；不合格等级所对应的扇形圆心角为　　度；

（3）从所抽取的优秀等级的学生 $A$ 、 $B$ 、 $C \dots$ 中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请根据列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 $A$ 、 $B$ 两位同学的概率．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的两边 $OC$ 、 $OA$ 分别在坐标轴上，且 $OA = 2$ ， $OC = 4$ ，连接 $OB$ ．反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象经过线段 $OB$ 的中点 $D$ ，并与 $AB$ 、 $BC$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．一次函数 $y = k_{2} x + b$ 的图象经过 $E$ 、 $F$ 两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $PE + PF$ 的值最小时，点 $P$ 的坐标为　　．

列方程（组 $)$ 解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？