如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交-优题课

如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．

（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{2}{3} x + 4$ 的图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，在线段 $AO$ 上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$ 作匀速运动，到达点 $O$ 停止运动，点 $A$ 关于点 $P$ 的对称点为点 $Q$ ，以线段 $PQ$ 为边向上作正方形 $PQMN$ ．设运动时间为 $t$ 秒．

（1）当 $t = \frac{1}{3}$ 秒时，点 $Q$ 的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $PQMN$ 与 $ΔAOB$ 重叠部分的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数表达式；

（3）若正方形 $PQMN$ 对角线的交点为 $T$ ，请直接写出在运动过程中 $OT + PT$ 的最小值．

如果三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若 $ΔABC$ 是“准互余三角形”， $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B =$ 　　 $°$ ；

（2）如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 4$ ， $BC = 5$ ．若 $AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，不难证明 $ΔABD$ 是“准互余三角形”．试问在边 $BC$ 上是否存在点 $E$ （异于点 $D)$ ，使得 $ΔABE$ 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 7$ ， $CD = 12$ ， $BD ⊥ CD$ ， $∠ ABD = 2 ∠ BCD$ ，且 $ΔABC$ 是“准互余三角形”，求对角线 $AC$ 的长．

某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．

（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为　　件；

（2）当每件的销售价 $x$ 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 $y$ 最大？并求出最大利润．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ， $BC$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $AC$ 的中点．

（1）试判断直线 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为2， $∠ B = 50 °$ ， $AC = 4.8$ ，求图中阴影部分的面积．

为了计算湖中小岛上凉亭 $P$ 到岸边公路 $l$ 的距离，某数学兴趣小组在公路 $l$ 上的点 $A$ 处，测得凉亭 $P$ 在北偏东 $60 °$ 的方向上；从 $A$ 处向正东方向行走200米，到达公路 $l$ 上的点 $B$ 处，再次测得凉亭 $P$ 在北偏东 $45 °$ 的方向上，如图所示．求凉亭 $P$ 到公路 $l$ 的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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