如图所示的一块地，AD9m，CD12m，∠ADC90°，AB-优题课

阅读下列材料：

在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，求证： $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$ ．

证明：如图1，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，则：

在 $R t △ B C D$ 中， $C D ＝ a \sin B$

在 $R t △ A C D$ 中， $C D ＝ b \sin A$

∴ $a \sin B ＝ b \sin A$

∴ $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$

根据上面的材料解决下列问题：

（1）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，求证： $\frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$ ；

（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 $∠ A ＝ 67 ° ， ∠ B ＝ 53 ° ， A C ＝ 80$ 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8 ， \sin 67 ° \approx 0.9$ ）

为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表

组别	时间 $x$ （分钟）	频数
A	$0 \leq x ＜ 20$	$6$
B	$20 \leq x ＜ 40$	$14$
C	$40 \leq x ＜ 60$	$m$
D	$60 \leq x ＜ 80$	$n$
E	$80 \leq x ＜ 100$	$4$

根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）频数分布统计表中的 $m ＝$ ＿＿＿＿， $n ＝$ ＿＿＿＿；

（2）补全频数分布直方图；

（3）已知该校有 $1000$ 名学生，估计书面作业完成时间在 $60$ 分钟以上（含 $60$ 分钟）的学生有多少人？

（4）若 $E$ 组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．

如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $O E$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ B D$ 交 $O E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ．

（1）求证： $△ O D E ≌ △ F C E$ ；

（2）试判断四边形 $O D F C$ 的形状，并写出证明过程．

中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的 $3.5$ 小时缩短至 $1$ 小时，运行里程缩短了 $40$ 千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快 $200$ 千米，求高铁的平均速度．

如图所示的方格纸（ $1$ 格长为一个单位长度）中， $△ A O B$ 的顶点坐标分别为 $A （ 3 ， 0 ）， O （ 0 ， 0 ）， B （ 3 ， 4 ）$ ．

（1）将 $△ A O B$ 沿 $x$ 轴向左平移 $5$ 个单位，画出平移后的 $△ A_{1} O_{1} B_{1}$ （不写作法，但要标出顶点字母）；

（2）将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的 $△ A_{2} O_{2} B_{2}$ （不写作法，但要标出顶点字母）；

（3）在（2）的条件下，求点 $B$ 绕点 $O$ 旋转到点 $B_{2}$ 所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．