如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形-优题课

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=,点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $B (6, 0)$ 和点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $OC$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到线段 $OD$ ．过点 $B$ 作射线 $BD$ ，点 $M$ 是射线 $BD$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $NM$ ， $NB$ ．

①直接写出 $ΔMBN$ 的形状为　　；

②设 $ΔMBN$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔODB$ 的面积为是 $S_{2}$ ．当 $S_{1} = \frac{2}{3} S_{2}$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $BE ⊥ BN$ ，交 $NM$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $BE$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $BF$ ，过点 $F$ 作 $FK / / x$ 轴，交射线 $BE$ 于点 $K$ ， $∠ KBF$ 的角平分线和 $∠ KFB$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $BG = 2 \sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为　　．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = α$ ，点 $P$ 为线段 $CA$ 延长线上一动点，连接 $PB$ ，将线段 $PB$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，得到线段 $PD$ ，连接 $DB$ ， $DC$ ．

（1）如图1，当 $α = 60 °$ 时，

①求证： $PA = DC$ ；

②求 $∠ DCP$ 的度数；

（2）如图2，当 $α = 120 °$ 时，请直接写出 $PA$ 和 $DC$ 的数量关系．

（3）当 $α = 120 °$ 时，若 $AB = 6$ ， $BP = \sqrt{31}$ ，请直接写出点 $D$ 到 $CP$ 的距离为　　．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔAOB$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6, 0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 4)$ ，过点 $P$ 作 $PN / / x$ 轴，分别交 $AO$ ， $AB$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $AO$ 的长为　　， $AB$ 的长为　　；

（2）当 $t = 1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $MN$ 的长为　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $MN$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $ΔAOE$ 和 $ΔABE$ 的面积分别表示为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，当 $t = \frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_{1} \cdot S_{2}$ （即 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的积）的最大值为　　．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $O$ 为 $BC$ 边上一点，以点 $O$ 为圆心， $OB$ 长为半径的圆与边 $AB$ 相交于点 $D$ ，连接 $DC$ ，当 $DC$ 为 $⊙ O$ 的切线时．

（1）求证： $DC = AC$ ；

（2）若 $DC = DB$ ， $⊙ O$ 的半径为1，请直接写出 $DC$ 的长为　　．

某工程队准备修建一条长 $3000 m$ 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 $25 %$ ，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？