（本题10分）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，ABAD-优题课

（本题10分）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进．1．5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

计算： ${(- 1)}^{3} + | 1 - \sqrt{2} | + \sqrt[3]{8}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(6, 0)$ ， $(4, 3)$ ，经过 $B$ ， $C$ 两点的抛物线与 $x$ 轴的一个交点 $D$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若 $∠ AOC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$ ，交抛物线的对称轴于点 $F$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $PE + PF$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点 $A$ 作 $OE$ 的垂线交 $BC$ 于点 $H$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点 $M$ ， $N$ ，使得以点 $M$ ， $N$ ， $H$ ， $E$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 $M$ 的坐标，若不存在，说明理由．

为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

	甲型客车	乙型客车
载客量（人 $/$ 辆）	35	30
租金（元 $/$ 辆）	400	320

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　8　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $P$ 是半径 $OB$ 上一动点（不与 $O$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作射线 $l ⊥ AB$ ，分别交弦 $BC$ ， $\hat{BC}$ 于 $D$ ， $E$ 两点，在射线 $l$ 上取点 $F$ ，使 $FC = FD$ ．

（1）求证： $FC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当点 $E$ 是 $\hat{BC}$ 的中点时，

①若 $∠ BAC = 60 °$ ，判断以 $O$ ， $B$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan ∠ ABC = \frac{3}{4}$ ，且 $AB = 20$ ，求 $DE$ 的长．

若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 图象的顶点在一次函数 $y = kx + t (k \neq 0)$ 的图象上，则称 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 为 $y = kx + t (k \neq 0)$ 的伴随函数，如： $y = x^{2} + 1$ 是 $y = x + 1$ 的伴随函数．

（1）若 $y = x^{2} - 4$ 是 $y = - x + p$ 的伴随函数，求直线 $y = - x + p$ 与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 $y = mx - 3 (m \neq 0)$ 的伴随函数 $y = x^{2} + 2 x + n$ 与 $x$ 轴两个交点间的距离为4，求 $m$ ， $n$ 的值．