(本小题满分14分)
已知动圆过定点
,且与定直线
相切,动圆圆心
的轨迹为
,直线
过点
交曲线
于
两点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若交
轴于点
,且
,求
的方程;
(Ⅲ)若的倾斜角为
,在
上是否存在点
使
为正三角形? 若能,求点
的坐标;若不能,说明理由.
(本小题满分12分)
已知函数在点
处的切线斜率为
,且
(Ⅰ)证明:; (Ⅱ)证明:函数
在区间
内至少有一个极值点.
(本小题满分12分)
已知函数的导函数
,数列
的前
项和为
,点
均在函数
的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式及
的最大值;
(Ⅱ)令,其中
,求
的前
项和.
(本小题满分12分)
如图1,直角梯形中,
,
分别为边
和
上的点,且
,
.将四边形
沿
折起成如图2的位置,使
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求四棱锥的体积;
(Ⅲ)求面与面
所成锐二面角的余弦值.
(本小题满分12分)某中学选派名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”),他们参加活动的次数统计如表所示.
活动次数 |
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参加人数 |
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[
(Ⅰ)从“青志队”中任意选名学生,求这
名同学中至少有
名同学参加活动次数恰好相等的概率;
(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列及数学期望.