（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，试求曲线在-优题课

（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式．

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = \sin (x + θ) + a \cos (x + 2 θ)$ ，其中 $a \in R, θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

（1）当 $a = \sqrt{2}, θ = \frac{π}{4}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的最大值与最小值；
（2）若 $f (\frac{π}{2}) = 0, f (π) = 1$ ，求 $a, θ$ 的值.

设函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{(x^{2} + 2 x + k)^{2} + 2 (x^{2} + 2 x + k) - 3}}$ ，其中 $k < - 2$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的定义域 $D$ （用区间表示）；
（2）讨论函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的单调性；
（3）若 $k < - 6$ ，求 $D$ 上满足条件 $f (x) > f (1)$ 的 $x$ 的集合（用区间表示）.

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若动点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 n a_{n - 1} - 3 n^{2} - 4 n$ ， $n \in N^{+}$ ，且 $S_{3} = 15$ .
（1）求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 的值；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥ A B C$ 平面 $A B C D$ ， $∠ D P C = 30^{°}$ ， $A F ⊥ P C$ 于点 $F$ ， $F E ∥ C D$ ，交 $P D$ 于点 $E$ .

（1）证明： $C F ⊥$ 平面 $A D F$ ；
（2）求二面角 $D - A F - E$ 的余弦值.

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