某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据-优题课

如图,四边形 $A B C D$ 为正方形, $Q A ⊥$ 平面 $A B C D, P D ∥ Q A, Q A = A B = \frac{1}{2} P D$ .

(I)证明: $P Q ⊥$ 平面 $D C Q$ ；
(II)求棱锥 $Q - A B C D$ 的体积与棱锥 $P - D C Q$ 的体积的比值.

$△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ .

(1)求 $\frac{b}{a}$

(2)若 $C^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a^{2}$ ,求 $B$ .

已知函数 $f (x) = |x - 2| - |x - 5|$ .
（I）证明： $- 3 \leq f (x) \leq 3$ ；
（II）求不等式 $f (x) \geq x^{2} - 8 x + 15$ 的解集.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = \cos φ \\ y = \sin φ \end{cases}$ （ $φ$ 为参数）曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = a c o s φ \\ y = b s i n φ \end{cases}$ （ $a > b > 0$ ， $φ$ 为参数）在以 $0$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l$ ： $θ = α$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 各有一个交点.当 $α = 0$ 时，这两个交点间的距离为 $2$ ，当 $α = \frac{π}{2}$ 时，这两个交点重合.

（1）分别说明 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值；
（2）设当 $α = \frac{π}{4}$ 时， $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ,当 $α = - \frac{π}{4}$ 时， $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点为 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ，求四边形 $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ 的面积.

已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ ．
（I）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $a > 0$ ，证明：当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时， $f (\frac{1}{a} + x) > f (\frac{1}{a} - x)$ ；
（III）若函数的图像与x轴交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 中点的横坐标为 $x_{0}$ ，
证明： $f ` (x_{0}) < 0$

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