如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以
为斜边的等腰直角三角形
构成，其中
为的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道
，按实际需要，四边形的两个顶点
分别在线段
上，另外两个顶点
在半圆上， 
，且
间的距离为1km．设四边形的周长为
km．
（1）若分别为的中点，求
长；
（2）求周长的最大值．
如图，椭圆
经过点
，其左、右顶点分别是
、
，左、右焦点分别是
、
，
（异于、）是椭圆上的动点，连接
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）求证:以线段
为直径的圆过点.
如图，半径为30
的圆形（
为圆心）铁皮上截取一块矩形材料
，其中点
在圆弧上，点
在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以
为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设
与矩形材料的边
的夹角为
，圆柱的体积为
.
（Ⅰ）求关于的函数关系式？
（Ⅱ）求圆柱形罐子体积的最大值.
已知函数
.
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
（Ⅱ）若函数
在
处取得极小值，且
，求实数
的取值范围.
已知函数
，钝角
（角
对边为
）的角
满足
.
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）若
，求
.
已知数列
的前
项和为
满足
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前项和
.