(本小题满分13分)已知函数,其中
为常数,且
.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求
的值;
(2)若函数在区间
上的最小值为
,求
的值.
【原创】(本小题满分14分)据报道,中国经济虽然有所下滑,但仍处于可控状态,从中央到地方对中国经济都抱有信心,因此股市的上证指数从去年的低点1974.38,涨到今天3286.07,为了了解股民的收益状况,某证券公司随机抽取位股民目前的战绩情况,数据显示这些股民的收益目前在所有股民中所占的百分数据,用茎叶图形式表示如下:
根据百分数据,成绩不低于80的为市场赢家.
(1)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在股民中任选人,求至少有
人为“市场赢家”的概率;
(2)从抽取的人中随机选取
人,记
表示“市场赢家”人数,求
的分布列及期望.
(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面是正方形,
平面
,
,点
是
上的点,且
.
(1)求证:对任意的,都有
;
(2)若二面角的大小为
,求实数
的值.
【改编】(本小题满分12分)已知函数.
(1)当时,求函数
的最大值;
(2)当时,求函数
的单调增区间;
(本小题满分13分)已知函数,
为自然对数的底数.
(1)过点的切线斜率为
,求实数
的值;
(2)当时,求证:
;
(3)在区间上
恒成立,求实数
的取值范围.
(本小题满分13分)已知数列是各项均为正数的等差数列,其中
,且
成等比数列;数列
的前
项和为
,满足
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)如果,设数列
的前
项和为
,是否存在正整数
,使得
成立,若存在,求出
的最小值,若不存在,说明理由.