（年广东广州14分）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）-优题课

（年广东广州14分）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax²+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

在平面直角坐标系 $xoy$ 中，抛物线 $y = m x^{2} - 2 mx - 3 (m \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (3, 0), B$ 两点.

（1）求抛物线的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）当 $- 2 < x < 3$ 时的函数图象记为 $G$ ，求此时函数 $y$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象 $G$ 在 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折，图象 $G$ 的其余部分保持不变，得到一个新图象 $M$ .若经过 $C (4, 2)$ 点的直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与图象 $M$ 在第三象限内有两个公共点，结合图象，求 $b$ 的取值范围.

已知 $Δ A B C$ 的两边 $AB, AC$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 3) x + k^{2} + 3 k + 2 = 0$ 的两个实数根，第三边 $BC = 5$ .

（1） $k$ 为何值时， $Δ A B C$ 是以 $BC$ 为斜边的直角三角形?

（2） $k$ 为何值时， $Δ A B C$ 是等腰三角形?并求此时 $Δ A B C$ 的周长.

如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ ABC = 30 °, AB = p, BC = q$ ，且 $p, q$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - mx + 3 m = 0$ 的两个实数根，若 $| p + 2 q | = \frac{1}{3} pq + 6$ ，试在 $ΔABC$ 内找一点 $P$ ，使点 $P$ 到 $A, B, C$ 三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由.

如图①. $Δ A B C, Δ A E D$ 都是等腰直角三角形， $∠ ABC = ∠ E = 90 °,$ $AE = a$ . $A = b$ ，且 $a < b$ ，点 $D$ 在 $AC$ 上，连接 $BD, BD = c$ .

（1）如果 $c = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ .

①求 $\frac{a}{b}$ 的值；②若 $a, b$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - mx + \frac{1}{25} m^{2} - \frac{2}{5} m + \frac{3}{5} = 0$ 的两实数根，求 $m$ 的值；

（2）如图②，将 $Δ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针旋特，使 $BE = 100$ ，连接 $DC$ .求五边形 $ABCDE$ 的面积.

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知 $3$ 份“堂食”小面和 $2$ 份“生食”小面的总售价为 $31$ 元， $4$ 份“堂食”小面和 $1$ 份“生食”小面的总售价为 $33$ 元.

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面 $4500$ 份，“生食”小面 $2500$ 份.为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 $\frac{3}{4} a %$ .统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加了 $\frac{5}{2} a %$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加了 $\frac{5}{11} a %$ .求 $a$ 的值.

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