（年湖南湘西22分）如图，抛物线yax2bxc关于y轴对称，-优题课

（年湖南湘西22分）如图，抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．

（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式．
（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？
（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；
（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, CD ⊥ AB$ 于 $D$ ，设 $AC = b, BC = a$ ， $AB = c, CD = h$ .

求证：（1） $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$ ；

（2） $a + b < c + h$ ；

（3）以 $a + b, h, c + h$ 为边的三角形是直角三角形.

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表.

（1）请你分别观察 $a, b, c$ 与 $n$ 之间的关系，并用含自然数 $n (n > 1)$ 的代数式表示: $a =$ _________， $b =$ _________， $c =$ _________.

（2）猜想：以 $a, b, c$ 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 $(A)$ 和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 $X$ 同侧， $AB = 50 km, A, B$ 到直线 $X$ 的距离分别为 $10 km$ 和 $40 km$ ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 $P$ ，向 $A, B$ 两景区运送游客.小民设计了两种方案.图①是方案一的示意图（ $AP$ 与直线 $X$ 垂直，垂足为 $P), P$ 到 $A, B$ 的距离之和 $S_{1} = PA + PB$ ；图②是方案二的示意图（点 $A$ 关于直线 $X$ 的对称点是 $A^{'}$ ，连接 $B A^{'}$ 交直线 $X$ 于点 $P), P$ 到 $A, B$ 的距离之和 $S_{2} = PA + PB$ .

（1）求 $S_{1}, S_{2}$ ，并比较它们的大小；

（2）请你说明 $S_{2} = PA + PB$ 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 $y$ 与沪渝高速公路垂直，建立如图③所示的直角坐标系， $B$ 到直线 $y$ 的距离为 $30 km$ ，请你在 $x$ 旁和 $y$ 旁各修建一服务区 $P, Q$ ，使 $P, A, B, Q$ 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.

如图， $△ ABC$ 中， $AB = AC = 2, BC$ 边上有 $100$ 个不同点， $P_{1}, P_{2}, P_{3} \dots, P_{100}$ ，记 $m_{i} = A P_{i}^{2} + P_{i} B \cdot P_{i} C (i = 1, 2, \dots, 100)$ ，求 $m_{1} + m_{2} + \dots + m_{100}$ 的值.

如图。（1）如图①以 $△ ABC$ 的边 $AB, AC$ 为边分别向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$ ，连接 $EG$ ，试判断 $△ ABC$ 与 $△ AEG$ 面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图②所示。小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 $a m^{2}$ ，内圈的所有三角形的面积之和是 $b m^{2}$ ，这条小路一共占地多少 $m^{2}$ ?