（2014年吉林省10分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，-优题课

如图，点 $O$ 为以 $AB$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $AB$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\hat{AB}$ 上，四边形 $MNPQ$ 为正方形，点 $C$ 在 $\hat{QP}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $BC$ 并延长交 $MQ$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $AC$ 交 $MQ$ 于点 $E$ ，连接 $OQ$ ．

（1）求 $\sin ∠ AOQ$ 的值；

（2）求 $\frac{AM}{MN}$ 的值；

（3）令 $ME = x$ ， $QD = y$ ，直径 $AB = 2 R (R > 0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．

我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 $y$ 轴对称，则把该函数称之为“ $T$ 函数”，其图象上关于 $y$ 轴对称的不同两点叫做一对“ $T$ 点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点 $A (1, r)$ 与点 $B (s, 4)$ 是关于 $x$ 的“ $T$ 函数” $y = \{\begin{matrix} - \frac{4}{x} (x < 0) \\ t x^{2} (x ⩾ 0, t \neq 0, t 是常数) \end{matrix}$ 的图象上的一对“ $T$ 点”，则 $r =$ 　　， $s =$ 　　， $t =$ 　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于 $x$ 的函数 $y = kx + p (k$ ， $p$ 是常数）是“ $T$ 函数”吗？如果是，指出它有多少对“ $T$ 点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于 $x$ 的“ $T$ 函数” $y = a x^{2} + bx + c (a > 0$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）经过坐标原点 $O$ ，且与直线 $l : y = mx + n (m \neq 0$ ， $n > 0$ ，且 $m$ ， $n$ 是常数）交于 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 两点，当 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 ${(1 - x_{1})}^{- 1} + x_{2} = 1$ 时，直线 $l$ 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AD ⊥ BC$ ，垂足为 $D$ ， $BD = CD$ ，延长 $BC$ 至 $E$ ，使得 $CE = CA$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $∠ B = ∠ ACB$ ；

（2）若 $AB = 5$ ， $AD = 4$ ，求 $ΔABE$ 的周长和面积．

为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $ΔOAB$ 是等边三角形， $AB = 4$ ．

（1）求证： $▱ ABCD$ 是矩形；

（2）求 $AD$ 的长．