（2014年湖南岳阳10分）数学活动﹣求重叠部分的面积（1）-优题课

如图， $C$ 处是一钻井平台，位于东营港口 $A$ 的北偏东 $60 °$ 方向上，与港口 $A$ 相距 $60 \sqrt{2}$ 海里，一艘摩托艇从 $A$ 出发，自西向东航行至 $B$ 时，改变航向以每小时50海里的速度沿 $BC$ 方向行进，此时 $C$ 位于 $B$ 的北偏西 $45 °$ 方向，则从 $B$ 到达 $C$ 需要多少小时？

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 于点 $M$ ，弦 $MN / / BC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，且 $ME = 3$ ， $AE = 4$ ， $AM = 5$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 的长度．

（1）计算： $\sqrt{27} + {(2 \cos 60 °)}^{2020} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} - | 3 + 2 \sqrt{3} |$ ；

（2）先化简，再求值： $(x - \frac{2 xy - y^{2}}{x}) \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + xy}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ， $y = \sqrt{2}$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标是 $(0, - 2)$ ，在 $x$ 轴上任取一点 $M$ ，连接 $AM$ ，分别以点 $A$ 和点 $M$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} AM$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $G$ ， $H$ 两点，作直线 $GH$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交直线 $GH$ 于点 $P$ ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段 $PA$ 与 $PM$ 的数量关系为　　，其理由为：　　．

（2）在 $x$ 轴上多次改变点 $M$ 的位置，按上述作图方法得到相应点 $P$ 的坐标，并完成下列表格：

$M$ 的坐标	$\dots$	$(- 2, 0)$	$(0, 0)$	$(2, 0)$	$(4, 0)$	$\dots$
$P$ 的坐标	$\dots$		$(0, - 1)$	$(2, - 2)$		$\dots$

猜想：

（3）请根据上述表格中 $P$ 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 $L$ ，猜想曲线 $L$ 的形状是　　．

验证：

（4）设点 $P$ 的坐标是 $(x, y)$ ，根据图1中线段 $PA$ 与 $PM$ 的关系，求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点 $B (- 1, \sqrt{3})$ ， $C (1, \sqrt{3})$ ，点 $D$ 为曲线 $L$ 上任意一点，且 $∠ BDC < 30 °$ ，求点 $D$ 的纵坐标 $y_{D}$ 的取值范围．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = 4$ ， $AD$ 是中线，求 $AD$ 的取值范围．她的做法是：延长 $AD$ 到 $E$ ，使 $DE = AD$ ，连接 $BE$ ，证明 $ΔBED ≅ ΔCAD$ ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $ΔBED ≅ ΔCAD$ 的判定定理是：　　；

（2） $AD$ 的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $AD$ 是 $ΔABC$ 的中线，在 $AD$ 上取一点 $F$ ，连结 $BF$ 并延长交 $AC$ 于点 $E$ ，使 $AE = EF$ ，求证： $BF = AC$ ．

（4）如图3，在矩形 $ABCD$ 中， $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$ ，在 $BD$ 上取一点 $F$ ，以 $BF$ 为斜边作 $Rt Δ BEF$ ，且 $\frac{EF}{BE} = \frac{1}{2}$ ，点 $G$ 是 $DF$ 的中点，连接 $EG$ ， $CG$ ，求证： $EG = CG$ ．