某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。
（4）如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
已知：如图，
中，
，点
为
的中点，以
为直径的
切
于点
，
．
（1）求
的长；（2）过点作
交于点
，求
的长．
数学课上，年轻的刘老师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法：
①教师讲,学生听；
②教师让学生自己做；
③教师引导学生画图，发现规律；
④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图．
数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他随机抽取了60名学生的调查问卷，统计如图：
（1）请将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中方法③的圆心角．
（2）全年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？
（3）假如抽取的60名学生集中在某两个班，这个调查结果还合理吗？为什么？
（4）请你对老师的教学方法提出一条合理化的建议．
如图，在四边形
中，点
，
分别是
的中点，
分别是
的中点，
满足什么条件时，四边形
是菱形？请证明你的结论．
先化简，再求值：
，其中，
是方程
的根．
如图（1），我们将相同的两块含30°角的直角三角尺Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE在AB上，DF过点C，已知AC=DE=6。将图（1）中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q，如图（2）。
(1)求证：△CQD∽△APD
(2)连结PQ，设AP=x，求面积S△PCQ关于x的函数关系式；
(3)将图（1）中的△DEF 向左平移（A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N，如图（3）,连结MN，试问△MCN面积是否存在最大值、如不存在，请说明理由；如存在请求出S△MCN 的最大值，