(本题满分10分)
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:.
(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人,记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求
的分布列及数学期望.
(本小题满分12分)
已知数列的前n项和
满足
(a>0,且
)。数列
满足
(1)求数列的通项。
(2)若对一切都有
,求a的取值范围。
(本小题满分12分)
在长方体中,
点
是
上的动点,点
为
的中点.
(1)当点在何处时,直线
//平面
,并证明你的结论;
(2)在(Ⅰ)成立的条件下,求二面角的大小.
设A是单位圆和x轴正半轴的交点,P,Q是单位圆上两点,是坐标原点,且
,
.
(Ⅰ)若点Q的坐标是,求
的值;
(Ⅱ)设函数,求
的值域.
(本小题满分15分)
已知函数,
。
(Ⅰ)求在区间
的最小值;
(Ⅱ)求证:若,则不等式
≥
对于任意的
恒成立;
(Ⅲ)求证:若,则不等式
≥
对于任意
的
恒成立。
(本小题满分15分)
如图,椭圆方程为,
为椭圆上的动点,
为椭圆的两焦点,当
点不在
轴上时,过
作
的外角平分线的垂线
,垂足为
,当点
在
轴上时,定义
与
重合。
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)已知、
,试探究是否存在这样的点
:点
是轨迹
内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且
的面积
?若存
在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由。