已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当时,;
(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.
.(本小题满分13分)
如图,椭圆(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B,已知点B在直线l:y=-1上,且椭圆的离心率e =
.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PQ⊥y轴,Q为垂足,M为线段PQ中点,直线AM交直线l于点C,N为线段BC的中点,求证:OM⊥MN
(本小题满分13分)
假设某班级教室共有4扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概率均为0.5,记此时教室里敞开的窗户个数为X .
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开,否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y,求y的数学期望.
(本小题满分13分)
在数列{a n}中,a1=2,点(a n,a n+1)(n∈N*)在直线y=2x上.
(Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式;
(Ⅱ)若bn=log2 an,求数列的前n项和Tn.
(本小题满分15分)设函数,(其中
为实常数且
),曲线
在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ) 若函数无极值点且
存在零点,求
的值;
(Ⅱ) 若函数有两个极值点,证明
的极小值小于
.
(本小题满分15分)已知椭圆:
,设该椭圆上的点到左焦点
的最大距离为
,到右顶点
的最大距离为
.
(Ⅰ) 若,
,求椭圆
的方程;
(Ⅱ) 设该椭圆上的点到上顶点的最大距离为
,求证:
.