已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点$P\left(0,1\right)$和点$A\left(m,n\right)$$\left(m\ne 0\right)$都在椭圆$C$上，直线$PA$交$x$轴于点$M$．
（Ⅰ）求椭圆$C$的方程，并求点$M$的坐标（用$m$，$n$表示）；
（Ⅱ）设$O$为原点，点$B$与点$A$关于$x$轴对称，直线$PB$交$x$轴于点$N$．问：$y$轴上是否存在点$Q$，使得
$\angle OQM=\angle ONQ$？若存在，求点$Q$的坐标；若不存在，说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等