已知等差数列满足、、成等比数列，数列的前项和（其中为正常数）-优题课

如图，已知正三棱柱 $A B C = A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长都是4， $E$ 是 $B C$ 的中点，动点 $F$ 在侧棱 $C C_{1}$ 上，且不与点 $C$ 重合．
（1）当 $C F = 1$ 时，求证： $E F ⊥ A_{1} C$ ；
（2）设二面角 $C - A F - E$ 的大小为 $θ$ ，求 $\tan θ$ 的最小值．

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）是车流密度 $x$ （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当 $20 \leq x \leq 200$ 时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数 $v (x)$ 的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） $f (x) = x \cdot v (x)$ 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$

（1）求 $△ A B C$ 的周长；
（2）求 $\cos (A - C)$ 的值．

如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程）
(3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

设命题，若同时为假命题，求x的取值集合．