如图所示，在多面体A1B1D1DCBA,四边形AA1B1B,-优题课

如图所示，在多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ ,四边形 $A A_{1} B_{1} B$ , $A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形, $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点,过 $A_{1}, D, E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ .

（Ⅰ）证明： $E F ∥ B_{1} C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $E - A_{1} D - B_{1}$ 余弦值.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线法

如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ B A D = \frac{π}{2}, A B = B C = \frac{1}{2} A D = a,$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $O$ 是 $O C$ 与 $B E$ 的交点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到图2中 $△ A_{1} B E$ 的位置，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ .

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；
（Ⅱ）当平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ 时，四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积为 $36 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值.

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\overset{⇀}{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行.
（Ⅰ）求 $A$ ；
（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}, b = 2$ ,求 $∆ A B C$ 的面积.

已知关于 $x$ 的不等式 $|x + a| < b$ 的解集为 ${x | 2 < x < 4}$ ．
（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{a t + 12} + \sqrt{b t}$ 的最大值．

在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{cases}$ ( $t$ 为参数).以原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. $⊙ C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} \sin θ$ ．

（Ⅰ）写出 $⊙ C$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ） $P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求 $P$ 的直角坐标．

如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点，直线 $A D$ 交 $⊙ O$ 于 $D$ ，两点， $B C ⊥ D E$ ，垂足为 $C$ ．

（Ⅰ）证明： $∠ C B D = ∠ D B A$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 3 D C$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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