如图，抛物线y﹣x2bxc交x轴于点A，交y轴于点B，已知经-优题课

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．

（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中﹣3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

列方程（组 $)$ 解应用题：

为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？

2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园 $A$ 处的俯角为 $30 °$ ， $B$ 处的俯角为 $45 °$ ，如果此时直升机镜头 $C$ 处的高度 $CD$ 为200米，点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 在同一条直线上，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）

如图， $AB / / CD$ ， $AB = CD$ ， $CE = BF$ ．请写出 $DF$ 与 $AE$ 的数量关系，并证明你的结论．

如图，抛物线 $y = a (x - 1) (x - 3) (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，抛物线上另有一点 $C$ 在 $x$ 轴下方，且使 $ΔOCA ∽ ΔOBC$ ．

（1）求线段 $OC$ 的长度；

（2）设直线 $BC$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，点 $C$ 是 $BM$ 的中点时，求直线 $BM$ 和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $BC$ 下方抛物线上是否存在一点 $P$ ，使得四边形 $ABPC$ 面积最大？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 在线段 $BC$ 上， $∠ BAO = 30 °$ ， $∠ OAC = 75 °$ ， $AO = 3 \sqrt{3}$ ， $BO : CO = 1 : 3$ ，求 $AB$ 的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$ 作 $BD / / AC$ ，交 $AO$ 的延长线于点 $D$ ，通过构造 $ΔABD$ 就可以解决问题（如图 $2)$ ．

请回答： $∠ ADB =$ 　　 $°$ ， $AB =$ 　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ， $AC ⊥ AD$ ， $AO = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ ABC = ∠ ACB = 75 °$ ， $BO : OD = 1 : 3$ ，求 $DC$ 的长．

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