已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中且存在常数，使得-优题课

椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别是 $A, B$ ,左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ .若 $|A F_{1}|, |F_{1} F_{2}|, |F_{1} B|$ 成等比数列，则此椭圆的离心率为.

设数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 都是等差数列，若 $a_{1} + b_{1} = 7, a_{3} + b_{3} = 21$ ，则 $a_{5} + b_{5} =$

计算定积分 $\int_{- 1}^{1} (x^{2} + \sin x) d x =$ 。

设 $N = 2^{n} (n \in N^{+}, n \geq 2)$ ，将 $N$ 个数 $x_{1}, x_{2}, . . . x_{n}$ 依次放入编号为1,2，…， $N$ 的 $N$ 个位置，得到排列 $P_{0} = x_{1} x_{2} . . . x_{N}$ .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\frac{N}{2}$ 和后 $\frac{N}{2}$ 个位置，得到排列 $P_{1} = x_{1} x_{3} . . . x_{N - 1} x_{2} x_{4} . . . x_{N}$ ，将此操作称为 $C$ 变换，将 $P_{1}$ 分成两段，每段 $\frac{N}{2}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $p_{2}$ ；当 $2 \leq i \leq n - 2$ 时，将 $P_{i}$ 分成 $2^{i}$ 段，每段 $\frac{N}{2^{i}}$ 个数，并对每段 $C$ 变换，得到 $P_{i + 1}$ ，例如，当 $N = 8$ 时， $P_{2} = x_{1} x_{5} x_{3} x_{7} x_{2} x_{6} x_{4} x_{8}$ ，此时 $x_{7}$ 位于 $P_{2}$ 中的第4个位置.
（1）当 $N = 16$ 时， $x_{7}$ 位于 $P_{2}$ 中的第个位置；
（2）当 $N = 2^{n} (n \geq 8)$ 时， $x_{173}$ 位于 $P_{4}$ 中的第个位置.

函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 的导函数 $y = f ` (x)$ 的部分图像如图所示，其中， $P$ 为图像与 $y$ 轴的交点， $A, C$ 为图像与 $x$ 轴的两个交点， $B$ 为图像的最低点.
（1）若 $φ = \frac{π}{6}$ ，点 $P$ 的坐标为 $(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ ，则 $φ =$ ;
（2）若在曲线段 $\overset{⏜}{A B C}$ 与 $x$ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $△ A B C$ 内的概率为.