如图，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O-优题课

如图，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O，连接DO并延长交BC于E。

（1）求证：△FOC≌△EOC
（2）将此图中的AD、BE分别延长交于点N，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图5。
求证：①；②FD＝FM

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心相似多边形的性质

如图，点 $E$ 正方形 $ABCD$ 外一点，点 $F$ 是线段 $AE$ 上一点， $ΔEBF$ 是等腰直角三角形，其中 $∠ EBF = 90 °$ ，连接 $CE$ 、 $CF$ ．

（1）求证： $ΔABF ≅ ΔCBE$ ；

（2）判断 $ΔCEF$ 的形状，并说明理由．

教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）．

（1）将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是　　；

（2）在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好关掉第一排与第三排灯的概率．

如图，已知抛物线 $y = x^{2} + bx$ 与直线 $y = 2 x + 4$ 交于 $A (a, 8)$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是抛物线上 $A$ 、 $B$ 之间的一个动点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的平行线与直线 $AB$ 交于点 $C$ 和点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $C$ 为 $AB$ 中点，求 $PC$ 的长；

（3）如图，以 $PC$ ， $PE$ 为边构造矩形 $PCDE$ ，设点 $D$ 的坐标为 $(m, n)$ ，请求出 $m$ ， $n$ 之间的关系式．

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 为 $AC$ 上一点，且 $CD = CB$ ，以 $BC$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $BD$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，过 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ， $∠ BCD = 2 ∠ ABD$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ A = 60 °$ ， $DF = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的直径 $BC$ 的长．

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，把 $ΔABC$ 绕 $A$ 点沿顺时针方向旋转得到 $ΔADE$ ，连接 $BD$ ， $CE$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔAEC ≅ ΔADB$ ；

（2）若 $AB = 2$ ， $∠ BAC = 45 °$ ，当四边形 $ADFC$ 是菱形时，求 $BF$ 的长．