解关于的不等式-优题课

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n (n + 1), n \in N^{+}$ .

（1）证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n} = 3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： $[0, 2], (2, 4], (4, 6], (6, 8], (8, 10], (10, 12]$ .估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95$ ℅的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关".
附：
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $b = 3, c = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $\cos A$ 与 $a$ 的值.

设 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{{a^{2}}_{n} - 2 a_{n} + 2} + b (n \in N^{^{*}})$ （1）若 $b = 1$ ，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $b = - 1$ ，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n} < c < a_{2 n + 1}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 成立？证明你的结论.

如图，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $D$ 在椭圆上， $D F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $\frac{|F_{1} F_{2}|}{|D F_{1}|} = 2 \sqrt{2}$ ， $△ D F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..