如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，-优题课

如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒。连接BM并延长交AG于N。

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；
（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆内接四边形的性质

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $AB$ 、 $CD$ 的中点．求证： $DE = BF$ ．

计算： $\sqrt{25} - | - 7 | + {(2 - \sqrt{3})}^{0}$ ．

如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = ∠ BCD$ ，点 $E$ 在边 $BC$ 上，且 $AE / / CD$ ， $DE / / AB$ ，作 $CF / / AD$ 交线段 $AE$ 于点 $F$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证： $ΔABF ≅ ΔEAD$ ；

（2）如图2．若 $AB = 9$ ， $CD = 5$ ， $∠ ECF = ∠ AED$ ，求 $BE$ 的长；

（3）如图3，若 $BF$ 的延长线经过 $AD$ 的中点 $M$ ，求 $\frac{BE}{EC}$ 的值．

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1 (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 都在此抛物线上，且 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $1 < x_{2} < 2$ ．比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y = m (m > 0)$ 与抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2}$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $AB$ 与线段 $CD$ 的长度之比．

为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位： $kW \cdot h)$ 调查，按月用电量 $50 ~ 100$ ， $100 ~ 150$ ， $150 ~ 200$ ， $200 ~ 250$ ， $250 ~ 300$ ， $300 ~ 350$ 进行分组，绘制频数分布直方图如图．

（1）求频数分布直方图中 $x$ 的值；

（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；

（3）设各组居民用户月平均用电量如表：

组别	$50 ~ 100$	$100 ~ 150$	$150 ~ 200$	$200 ~ 250$	$250 ~ 300$	$300 ~ 350$
月平均用电量（单位： $kW \cdot h)$	75	125	175	225	275	325

根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．