黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口-优题课

阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 是 $\hat{A_{1} A_{2}}$ 上的任意一点，连接 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ ，可证： $P A_{1} + P A_{2} = P A_{3}$ ，从而得到： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ 是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $∠ P A_{1} M = 60 °$ ， $A_{1} M$ 交 $A_{2} P$ 的延长线于点 $M$ ．

$∵$ △ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 是等边三角形，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} A_{2} = 60 °$ ，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} P = ∠ A_{2} A_{1} M$

又 $A_{3} A_{1} = A_{2} A_{1}$ ， $∠ A_{1} A_{3} P = ∠ A_{1} A_{2} P$ ，

$∴$ △ $A_{1} A_{3} P ≅$ △ $A_{1} A_{2} M$

$∴ P A_{3} = M A_{2} = P A_{2} + PM = P A_{2} + P A_{1}$ ．

$∴ \frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ ，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ”，其余条件不变，请问： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4}}$ 还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正五边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ ”，其余条件不变，则 $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4} + P A_{5}} =$ 　　（只写出结果）．

矩形 $AOBC$ 中， $OB = 4$ ， $OA = 3$ ．分别以 $OB$ ， $OA$ 所在直线为 $x$ 轴， $y$ 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系． $F$ 是 $BC$ 边上一个动点（不与 $B$ ， $C$ 重合），过点 $F$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与边 $AC$ 交于点 $E$ ．

（1）当点 $F$ 运动到边 $BC$ 的中点时，求点 $E$ 的坐标；

（2）连接 $EF$ ，求 $∠ EFC$ 的正切值；

（3）如图2，将 $ΔCEF$ 沿 $EF$ 折叠，点 $C$ 恰好落在边 $OB$ 上的点 $G$ 处，求此时反比例函数的解析式．

已知：如图，以等边 $ΔABC$ 的边 $BC$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若等边 $ΔABC$ 的边长为8，求由 $\hat{DE}$ 、 $DF$ 、 $EF$ 围成的阴影部分面积．

“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的 $50 %$ 标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在 $A$ 处测得雕塑顶端点 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，再往雕塑方向前进4米至 $B$ 处，测得仰角为 $45 °$ ．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值． $)$