（本小题满分10分。每题5分）（1）计算：；（2）解方程：-优题课

计算： $（ ﹣ 2 ） \times 0 + 5$ ．

如图是一个长为 $400 m$ 的环形跑道，其中 $A, B$ 为跑道对称轴上的两点，且 $A, B$ 之间有一条 $50 m$ 的直线通道.甲乙两人同时从 $A$ 点出发，甲按逆时针方向以速度 $v_{1}$ 沿跑道跑步，当跑到 $B$ 点时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度 $v_{2}$ 沿跑道跑步，当跑到 $B$ 点时沿直线通道跑回 $A$ 点处，假设两人跑步的时间足够长.求：

（1）如果 $v_{1} : v_{2} = 3 : 2$ ，那么甲跑了多少路程后，两人首次在 $A$ 点处相遇；

（2）如果 $v_{1} : v_{2} = 5 : 6$ ，那么乙跑了多少路程后，两人首次在 $B$ 点处相遇.

某校九年级（1）班 $50$ 名学生参加 $1 min$ 跳绳体育考试. $1 min$ 跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表（ $60 ~ 70$ 表示为大于等于 $60$ 并且小于 $70$ ）和扇形统计图，（如图）.

（1）求 $m, n$ 的值；

（2）求该班 $1 min$ 跳绳成绩在 $80$ 分以上（含 $80$ 分）的人数占全班人数的百分比；

（3）根据频数分布表估计该班学生 $1 min$ 跳绳的平均分大约是多少?并说明理由.

为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树的价格之比为 $2 : 2 : 3$ ，丙种树每棵 $300$ 元，现计划用 $210000$ 元资金，购买这三种树共 $1000$ 棵.

（1）求甲、乙两种树每棵各多少元?

（2）若购买甲种树的棵数是乙种树的 $2$ 倍，恰好用完计划资金，则这三种树各能购买多少棵?

（3）若又增加了 $10120$ 元的购树款，在购买总棵数不变的前提下，求丙种树最多可购买多少棵?

探究：（1）如图①若 $AB / / CD$ .则 $∠ B + ∠ D = ∠ E$ .你能说明为什么吗?

（2）反之，若 $∠ B + ∠ D = ∠ E$ ，直线 $AB$ 和 $CD$ 有什么位置关系，请证明；

（3）若将点 $E$ 移至图②所示位置，此时 $∠ B, ∠ D, ∠ E$ 之间有什么关系?请证明；

（4）若将点 $E$ 移至图③所示位置，情况又如何?

（5）在图④中， $AB / / CD, ∠ E + ∠ G$ 与 $∠ B + ∠ F + ∠ D$ 又有何关系?

（6）在图⑤中，若 $AB / / CD$ ，又得到什么结论?