如图，在△ABC中，ABAC，AE是∠BAC的平分线，∠AB-优题课

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

在等腰 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $AB$ ， $AC$ 相交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）分别延长 $CB$ ， $FD$ ，相交于点 $G$ ， $∠ A = 60 °$ ， $⊙ O$ 的半径为6，求阴影部分的面积．

阅读理解题：

定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位，把形如 $a + bi (a$ ， $b$ 为实数）的数叫做复数，其中 $a$ 叫这个复数的实部， $b$ 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．

例如计算： $(2 - i) + (5 + 3 i) = (2 + 5) + (- 1 + 3) i = 7 + 2 i$ ；

$(1 + i) \times (2 - i) = 1 \times 2 - i + 2 \times i - i^{2} = 2 + (- 1 + 2) i + 1 = 3 + i$ ；

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空： $i^{3} =$ 　， $i^{4} =$ 　　；

（2）计算： $(1 + i) \times (3 - 4 i)$ ；

（3）计算： $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2017}$ ．

位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体 $AD$ 和底座 $CD$ 两部分组成．如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 70.5 °$ ，在 $Rt Δ DBC$ 中， $∠ DBC = 45 °$ ，且 $CD = 2.3$ 米，求像体 $AD$ 的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 70.5 ° \approx 0.943$ ， $\cos 70.5 ° \approx 0.334$ ， $\tan 70.5 ° \approx 2.824)$

列方程组解应用题：

某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：

	批发价（元 $)$	零售价（元 $)$
黑色文化衫	10	25
白色文化衫	8	20

假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，边 $AB$ 的垂直平分线交 $AD$ 于点 $E$ ，交 $CB$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $AF$ ， $BE$ ．

（1）求证： $ΔAGE ≅ ΔBGF$ ；

（2）试判断四边形 $AFBE$ 的形状，并说明理由．