在Rt△ABC中，∠BAC90°，∠B30°，线段AD是BC-优题课

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线．
如图(Ⅰ)，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，连结AF．求证：四边形ADEF是等腰梯形；

如图(Ⅱ)，在（1）的条件下，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0°<<90°）连结AF、DE．

AC⊥CF时，求旋转角的度数；②当=60°时，请判断四边形ADEF的形状，并给予证明．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

解方程组： $\{\begin{matrix} x - y = 1, \\ 3 x + y = 7 . \end{matrix}$

计算： $| - 3 | + \sqrt{8} - \sqrt{2}$ ．

如图1，矩形 $DEFG$ 中， $DG = 2$ ， $DE = 3$ ， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB = 2$ ， $FG$ ， $BC$ 的延长线相交于点 $O$ ，且 $FG ⊥ BC$ ， $OG = 2$ ， $OC = 4$ ．将 $ΔABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α (0 ° ⩽ α < 180 °)$ 得到△ $A' B' C'$ ．

（1）当 $α = 30 °$ 时，求点 $C'$ 到直线 $OF$ 的距离．

（2）在图1中，取 $A' B'$ 的中点 $P$ ，连结 $C' P$ ，如图2．

①当 $C' P$ 与矩形 $DEFG$ 的一条边平行时，求点 $C'$ 到直线 $DE$ 的距离．

②当线段 $A' P$ 与矩形 $DEFG$ 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $DG$ 的距离的取值范围．

如图1，排球场长为 $18 m$ ，宽为 $9 m$ ，网高为 $2.24 m$ ，队员站在底线 $O$ 点处发球，球从点 $O$ 的正上方 $1.9 m$ 的 $C$ 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点 $A$ 时，高度为 $2.88 m$ ，即 $BA = 2.88 m$ ，这时水平距离 $OB = 7 m$ ，以直线 $OB$ 为 $x$ 轴，直线 $OC$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，如图2．

（1）若球向正前方运动（即 $x$ 轴垂直于底线），求球运动的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系式（不必写出 $x$ 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点 $P$ （如图1，点 $P$ 距底线 $1 m$ ，边线 $0.5 m)$ ，问发球点 $O$ 在底线上的哪个位置？（参考数据： $\sqrt{2}$ 取 $1.4)$

问题：如图，在 $ΔABD$ 中， $BA = BD$ ．在 $BD$ 的延长线上取点 $E$ ， $C$ ，作 $ΔAEC$ ，使 $EA = EC$ ．若 $∠ BAE = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，求 $∠ DAC$ 的度数．

答案： $∠ DAC = 45 °$ ．

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“ $∠ B = 45 °$ ”去掉，其余条件不变，那么 $∠ DAC$ 的度数会改变吗？说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“ $∠ B = 45 °$ ”去掉，再将“ $∠ BAE = 90 °$ ”改为“ $∠ BAE = n °$ ”，其余条件不变，求 $∠ DAC$ 的度数．

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