有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标-优题课

有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字、和.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记下小球上的数字为；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为，设点P的坐标为（，）.
（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；
（2）求点P在一次函数图像上的概率.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $OB = OC$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ y$ 轴交抛物线于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴，垂足点为 $E$ ， $\tan ∠ ACO = \frac{1}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 经过 $A$ ， $C$ 两点，将直线 $l$ 向右平移，平移过程中，直线 $l$ 与 $y$ 轴，直线 $CD$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，将 $ΔCMN$ 沿直线 $MN$ 折叠，点 $C$ 的对应点 $F$ 落在线段 $DE$ 上．

①请求出 $ΔFMN$ 的面积；

②点 $P$ 为抛物线上的点，若 $S_{ΔPMN} = S_{ΔFMN}$ ，请直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标．

已知在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 60 °$ ，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是线段 $BD$ 上一动点（不与点 $B$ ， $D$ 重合），连接 $AE$ ，以 $AE$ 为边在 $AE$ 的右侧作菱形 $AEFG$ ，且 $∠ AEF = 60 °$ ．

（1）如图1，若点 $F$ 落在线段 $BD$ 上，请判断：线段 $EF$ 与线段 $DF$ 的数量关系是　

（2）如图2，若点 $F$ 不在线段 $BD$ 上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；

（3）若点 $C$ ， $E$ ， $G$ 三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段 $BE$ 与线段 $BD$ 的数量关系．

某商店以每件50元的价格购进一批新型产品，如果按每件60元出售，那么每周可销售500件．根据市场规律，这种产品的销售单价每提高1元，其销售量每周相应减少10件，但每件产品的销售单价不低于60元，且不能高于85元，设每周的销售量为 $y$ （件 $)$ ，这种产品的销售单价为 $x$ （元 $)$ ，解答下列问题：

（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商家要想每周获得8000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每周获得的销售利润最大？最大利润是多少元？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边长一点， $DE ⊥ AB$ ，垂足为点 $E$ ，点 $O$ 在线段 $ED$ 的延长线上，且 $⊙ O$ 经过 $C$ ， $D$ 两点．

（1）判断直线 $AC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为2， $\hat{CD}$ 的长为 $\frac{10}{9} π$ ，请求出 $∠ A$ 的度数．

某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度．如图所示，他们先在点 $A$ 测得电子显示屏底端点 $D$ 的仰角 $∠ DAC = 15 °$ ，然后向建筑物的方向前进 $10 m$ 到达点 $B$ ，又测得电子显示屏顶端点 $E$ 的仰角 $∠ EBC = 45 °$ ，测得电子显示屏底端点 $D$ 的仰角 $∠ DBC = 30 °$ ．（点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一条直线上，且与点 $D$ ， $E$ 在同一平面内，不考虑测角仪高度）

（1）求此时他们离建筑的距离 $BC$ 的长；

（2）求电子显示屏 $DE$ 的高度．

（以上结果用含根号的式子表示）